You are viewing mathreader

Записки Когомолога - внутренние автоморфизмы [entries|archive|friends|userinfo]
Записки Когомолога

[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

внутренние автоморфизмы [Aug. 31st, 2009|11:15 pm]
Previous Entry Add to Memories Share Next Entry
[Tags|, , ]

Оказывается, внутренние автоморфизмы произвольной группы G можно охарактеризовать категорно, то есть, не прибегая к сопряжению элементами группы. Действительно, верен следующий результат:

Автоморфизм f:G->G группы G является внутренним в том и только том случае, если для любого вложения группы G в некоторую группу H, f продолжается до автоморфизма группы H.

Доказано тут:

Schupp, Paul E.
A characterization of inner automorphisms.
Proc. Amer. Math. Soc. 101 (1987), no. 2, 226--228.

с помощью теории малых сокращений.
LinkReply

Comments:
[User Picture]From: rus4
2009-09-01 05:18 am (UTC)

(Link)

Красивый факт
From: justpasha
2009-09-01 07:48 am (UTC)

(Link)

А вот интересно, имеет ли место быть аналогичное для алгебр Ли там, ассоциативных алгебр, и т.д. Ну и для внутренних дифференцирований заодно.
From: justpasha
2009-09-01 09:18 am (UTC)

(Link)

Не, для ассоциативных алгебр неверно, для алгебр Ли - наверное тоже.
From: mathreader
2009-09-01 09:18 am (UTC)

(Link)

Для внутренних дифференцирований вещественных алгебр Ли это, я думаю, можно вывести из данного результата Шуппа, используя экспоненциальное отображение. (Аналогично для внутренних автоморфизмов алгебр Ли над R.)

А вот для ассоциативных коммутативных колец это неверно, и более того, актуальным является предположение, что только тождественный автоморфизм расширяется на любое надкольцо. Есть об этом статья в африканском журнале:

L'Moufadal, Ben Yakoub; Amine, Kaidi; Malliavin, Marie-Paule
Caractérisation des automorphismes et des dérivations intérieurs des algèbres de division. (French. English summary) [Characterization of the inner automorphisms and derivations of division algebras]
Afrika Mat. (3) 7 (1997), 3--11.

[User Picture]From: falcao
2009-09-01 01:52 pm (UTC)

я русский бы выучил только за то ... :)

(Link)

Красиво! Я об этом не знал! Интересно, есть ли в доступном виде электронная версия?

Кстати, я видел Шуппа на разных конференциях много раз, но впервые услышал его в Москве где-то как раз в середине 80-х, когда он на семинаре Адяна делал доклад на чистом РУССКОМ языке! О как! :)
From: justpasha
2009-09-01 09:35 pm (UTC)

Re: я русский бы выучил только за то ... :)

(Link)

[User Picture]From: falcao
2009-09-03 01:13 am (UTC)

finte order elements

(Link)

Спасибо! Мне тут уже успели прислать текст по "емеле". Идея доказательства там, как оказалось, довольно простая. Происходит как бы "игра" с элементами конечных порядков, откуда извлекается достаточная информация об автоморфизме.
[User Picture]From: ayudug
2009-09-01 02:46 pm (UTC)

(Link)

Спасибо, симпатично да.
[User Picture]From: algebraic_brain
2009-09-01 04:00 pm (UTC)

(Link)

Красиво. Интересно, нельзя ли обратить (и будет ли это полезно): внутренний автоморфизм какой-либо структуры это такой, что он для любого вложения он продолжается.
From: mathreader
2009-09-02 12:11 am (UTC)

(Link)

К сожалению, для других алгебраических систем получающийся класс не столь интересен. Например, как я написал выше, для коммутативных областей целостности предполагается, что единственный класс продолжающихся на произвольные над-области автоморфизм (дифференцирование) - это класс, состоящий из тожденственного (нулевого) автоморфизма (дифференцирования).
From: justpasha
2009-09-02 12:42 pm (UTC)

(Link)

А почему, кстати, предполагается? В Zentralblattе, например, говорится что это якобы доказано. Или у Вас, может, сама статья есть?
From: mathreader
2009-09-03 01:24 am (UTC)

(Link)

Может, я неправильно понял рецензию на MathSciNet:

========================

MR1451426 (98f:16022)
L'Moufadal, Ben Yakoub(MRC-TETS); Amine, Kaidi; Malliavin, Marie-Paule(F-PARIS6)
Caractérisation des automorphismes et des dérivations intérieurs des algèbres de division. (French. English summary) [Characterization of the inner automorphisms and derivations of division algebras]
Afrika Mat. (3) 7 (1997), 3--11.
16W20 (12E15 16W25)

Let $R$ be an algebra over a field $K$ and $M(R)$ the subalgebra of $\operatorname{End}_K(R)$ generated by the set $\{L_a,R_b;a,b\in R\}$, where $L_a$ and $R_b$ denote the left and right multiplication operators. The main theorems of the paper (Theorems 2.3 and 2.6) state that if $R$ is a division algebra, any $K$-automorphism [respectively $K$-derivation] of $R$ which lies in $M(R)$ is an inner automorphism [respectively an inner derivation].

Following the proof given by C. Lanski for derivations [Comm. Algebra 18 (1990), no. 5, 1379--1399; MR1059736 (91g:16025) (Theorem 2)], the authors also show that if $R$ is a domain, $U$ a noncommutative Lie ideal in $R$, and $\alpha$ an automorphism of $R$ such that the $\alpha$-derivation $d=\alpha-\operatorname{id}_R$ takes algebraic values on $U$, then either $d=0$ or $R$ is a division algebra. The paper concludes with the following problem: If $\alpha$ is an automorphism [respectively $d$ is a derivation] of a commutative domain $R$, which extends to some automorphism [respectively some derivation] in any overring of $R$, do we necessarily have $\alpha=\operatorname{id}_R$ [respectively $d=0]$? Theorems 2.7 and 2.8 introduce a sufficient condition for uniqueness, which did not occur in the corresponding statements 1.1 and 1.2 of a previous paper [Comm. Algebra 24 (1996), no. 10, 3131--3148; MR1402549 (97j:16050); erratum; Comm. Algebra 25 (1997), no. 10, 3377 MR1465120 ] by the first and third authors.
Reviewed by François Dumas

=======================
From: justpasha
2009-09-03 06:41 am (UTC)

(Link)

Хе. Имется несоответствие с тем, что написано в Zentralblattе (Zbl 0883.16023).
From: justpasha
2009-09-17 09:20 pm (UTC)

(Link)

Я раздобыл эту статью. Интересует?
From: mathreader
2009-09-17 10:02 pm (UTC)

(Link)

Ага. Или напишите, какая из рецензий верна.
From: mathreader
2009-09-21 08:37 pm (UTC)

(Link)

Спасибо!
From: kerrywb
2010-11-25 02:43 pm (UTC)

(Link)

Вы забавны и глупы...