| (no subject) |
[Aug. 2nd, 2016|02:55 am] |
|
ящик для корреспонденции |
|
|
| континуум-гипотеза в обычной математике |
[Nov. 25th, 2009|12:16 am] |
Около года назад (если судить по датам) ![[info]](http://l-stat.livejournal.com/img/userinfo.gif) qui_vadis написал интереснейший пост о континуум-гипотезе в мэйнстримной алгебре. Однако у меня произошел какой-то взлом реальности и я вспоминаю этот пост как написанный всего три недели назад.
Он приводит ссылку на страничку из книги Barbara Osofsky "Homological dimension of modules" (можно скачать с гигапедии), где сказано, что:
1.
Проективная размерность кольца рациональных функций R(x,y,z) от трех переменных с вещественными коэффициентами, рассматриваемого как модуль над кольцом полиномов R[x,y,z], равна 2 в том и только том случае, если верна континуум-гипотеза.
2.
Глобальная размерность кольца эндоморфизмов счетномерного вещественного пространства равна k+1 если и только если 2^алеф_0 = алеф_k (то есть, "k-е отрицание" обобщенной континуум-гипотезы, которая утверждает, что 2^алеф_n = алеф_(n+1) для всех n). [Глобальная размерность кольца - это супремум проективных размерностей модулей над этим кольцом.] |
|
|
| задачка с американской университетской олимпиады |
[Nov. 23rd, 2009|02:03 am] |
Корабль плывет по числовой прямой. Начинает движение в какой-то целочисленной точке и плывет с неизвестной постоянной целочисленной скоростью (сколько-то клеток в секунду). Мы можем выстрелить из пушки раз в секунду по какой-либо целочисленной точке прямой, и если в ней находится корабль в этот момент, мы его уничтожаем. Нужно придумать алгоритм стрельбы, гарантированно уничтожающий корабль за конечное время. (Автор R.Shadrach.)
(x-posted в ![[info]](http://l-stat.livejournal.com/img/community.gif) ru_olymp_math) |
|
|
| книги по теории категорий в открытом доступе |
[Nov. 22nd, 2009|06:46 pm] |
http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/index.html
1. Metric spaces, generalized logic and closed categories
F. W. Lawvere
2. Triples, algebras and cohomology
Jonathan Mock Beck
3. Abelian categories
Peter Freyd
4. Cauchy characterization of enriched categories
Ross Street
5. Functorial semantics of algebraic theories and
Some algebraic problems in the context of functorial semantics of algebraic theories
F. W. Lawvere
6. Homotopy is not concrete
Peter Freyd
7. Categories and groupoids
P. J. Higgins
8. Taking categories seriously
F. William Lawvere
9. Categories of spaces may not be generalized spaces
as exemplified by directed graphs
F. William Lawvere
10. Basic concepts of enriched category theory
G. M. Kelly
11. An elementary theory of the category of sets (long version) with commentary
F. William Lawvere
12. Toposes, triples and theories
Michael Barr and Charles Wells
13. On the operads of J.P. May
G.M. Kelly
14. Enriched categories and cohomology with author commentary
Ross Street
15. Diagonal arguments and cartesian closed categories with author commentary
F. William Lawvere
16. Adjointness in foundations, with author commentary
F. William Lawvere
17. Abstract and concrete categories: The joy of cats
Jiri Adamek, Horst Herrlich, George E. Strecker
18. Seminar on Triples and Categorical Homology Theory
Edited by Beno Eckmann and Myles Tierney |
|
|
| задачник матанализа |
[Oct. 22nd, 2009|06:19 pm] |
Все знают про задачник Демидовича. Однако меня (м)учили в свое время по другому задачнику - трехтомному Кудрявцева, Кутасова, Чехлова и Шабунина (есть в Колхозе):
Л. Д. Кудрявцев, А. Д. Кутасов, В. И. Чехлов, М. И. Шабунин Сборник задач по математическому анализу.
Том 1. Предел. Непрерывность. Дифференцируемость. (496 стр.)
Том 2. Интегралы. Ряды (504 стр.)
Том 3. Функции нескольких переменных (472 стр.)
Шедевр в своем роде. Помню, что задачи в нем были весьма нетривиальными, и я мог решить отнюдь не каждую. А наш преподаватель практики обычно капитулировал раньше нас. :-)
Понимание бесполезности этих упражнений пришло позднее. |
|
|
| зачем нужна школа |
[Sep. 20th, 2009|07:07 pm] |
В дискуссии у bravchick-а уважаемые математики спорят о том, как правильно преподавать язык и нужна ли школа вообще. Прочитав всю их дискуссию, я понял, что все они упускают важный момент: школа нужна не только как источник знаний, но и как организация, где дети учатся общаться друг с другом и уживаться в коллективе. Поэтому предлагаемые варианты обучения на дому будут готовить, в основном, социопатов-интравертов, конфликтных личностей, не способных ладить с другими людьми. При этом я согласен с bravchick-ом в том, что школа развивает и закладывает основы естественнонаучного мировоззрения в умы студентов - то, что мы совсем не замечаем в повседневной жизни, но тем не менее без этой важной части мир тотчас скатится в мракобесие. |
|
|
| кардиоида |
[Sep. 17th, 2009|02:59 pm] |
Вот какую кардиоиду я сегодня наблюл на своих часах. Послал своим студентам в образовательных целях.
( крупно ) |
|
|
| внутренние автоморфизмы |
[Aug. 31st, 2009|11:15 pm] |
Оказывается, внутренние автоморфизмы произвольной группы G можно охарактеризовать категорно, то есть, не прибегая к сопряжению элементами группы. Действительно, верен следующий результат:
Автоморфизм f:G->G группы G является внутренним в том и только том случае, если для любого вложения группы G в некоторую группу H, f продолжается до автоморфизма группы H.
Доказано тут:
Schupp, Paul E.
A characterization of inner automorphisms.
Proc. Amer. Math. Soc. 101 (1987), no. 2, 226--228.
с помощью теории малых сокращений. |
|
|
| Фоменко на ТВ |
[Aug. 27th, 2009|08:40 am] |
Анатолий Тимофеевич в передаче Диброва и Губина "Временно доступен". Почти час на экране. Производит впечатление простого и искреннего человека, бессребренника, верного истине, и идущего до конца, чтобы ее отстоять. Джордано Бруно современности.
(взято у matholimp) |
|
|
| фундаментальные группы conjugacy p-separable |
[Aug. 23rd, 2009|03:00 pm] |
В статье
Paris, Luis
Residual $p$ properties of mapping class groups and surface groups. (English summary)
Trans. Amer. Math. Soc. 361 (2009), no. 5, 2487--2507.
автор доказал, что фундаментальные группы G замкнутых ориентируемых поверхностей являются conjugacy p-separable, то есть, для любых элементов g,h из группы G верно: либо g сопряжено с h в G, либо существует эпиморфизм f:G->P на конечную p-группу P, такой что f(g) и f(h) не сопряжены в P. (Это усиление условия финитной p-аппроксимируемости.)
Из этого автор получает следствие, что конгруэнц-подгруппа уровня p в модулярной группе компактной ориентируемой поверхности с одной отмеченной точкой является финитно p-аппроксимируемой, а значит, вся модулярная группа - виртуально финитно p-аппроксимируема. |
|
|
| вложение модулярных групп поверхностей |
[Aug. 22nd, 2009|01:47 am] |
Важный и неочевидный результат о том, как ведут себя модулярные группы вложенных друг в друга поверхностей:
Если S1 < S2 вложение двух поверхностей, такое что cl(S2\S1) не является диском или кольцом (цилиндром), то естественное отображение модулярных групп Mod(S1) -> Mod(S2) (продолжение гомеоморфизма тривиальным образом на S2\S1) инъективно.
Доказано тут:
L. Paris and D. Rolfsen, Geometric subgroups of mapping class groups, J. Reine Angew. Math. 521
(2000), 47–83. |
|
|
| корни в фундаментальной группе |
[Aug. 22nd, 2009|01:31 am] |
В свободной группе извлечение корня однозначно, если корень существует. То есть, если y = x^r, то y и x будут коммутировать, а значит, лежать в одной абелевой подгруппе свободной группы, то есть, будут принадлежать некоторой циклической подгруппе < z >. А значит, y есть положительная степень либо z либо z^-1, и эта степень определена однозначно.
Оказывается, то же верно для фунд. групп замкнутых ориентируемых поверхностей. Это лемма 2.3 в работе:
G. Levitt & K. Vogtmann. A Whitehead algorithm for surface groups, Topology,
39 2000, 1239 - 1251.
UPD:
Более точно, авторы доказали, что в любой гиперболической группе без кручения G, для любого нетривиального элемента g из G, существует однозначно определенный элемент x из G, не являющийся степенью, такой что g = x^n, и n>=1. |
|
|
| вопросы по группам Ли |
[Aug. 15th, 2009|10:55 am] |
Есть два вопроса по группам Ли, ответы на которые я не знаю:
1. Теорема Адо говорит, что каждая (вещественная или комплексная) алгебра Ли допускает точное конечномерное представление. Вопрос такой: всякая ли алгебра Ли является алгеброй Ли некоторой замкнутой линейной группы Ли? (Проблема в том, что экспонента образа представления может быть лишь виртуальной подгруппой полной линейной группы.)
2. Существует ли комплексная группа Ли, не допускающая не только комплексно-аналитических точных представлений, но также и вещественных? (Компактные группы вида C^n/Z^2n не допускают комплексных точных представлений, но допускают вещественные. Группы типа односвязной накрывающей SL(2,R) не допускают точных вещественных представлений. Хотелось бы найти комплексную группу с такими свойствами.) |
|
|
| чаинки в чае |
[Jul. 17th, 2009|10:56 pm] |
Вопрос: почему при размешивании сахара в стакане с чаем чаинки собираются в центре, а не у стенок?
Ответ: ...Чаинки собираются в центре после того, как вы вынули ложку.
Грубо говоря, если нарисовать график распределения скоростей чаинок внутри стакана при движении от центра стакана к стенке, получится кривая, которая сначала возрастает, а потом убывает. В центре стакана скорость равна нулю (по симметрии), на границе со стенкой — тоже. На чаинку действуют две силы — центробежная и градиент давления. С центробежной всё ясно — она зависит от расстояния от центра и от скорости (v^2/R). Градиент давления устроен хитрее: чем больше скорость, тем меньше давление. Поэтому около стенки градиент направлен к центру стакана; в центре стакана он направлен от центра. Таким образом, есть некоторая область вокруг центра стакана, где эти две силы выравниваются. С течением времени после вынимания ложки это кольцо вокруг центра сжимается.
См. также: http://n-t.ru/tp/nr/ot.htm |
|
|
